96. 不同的二叉搜索树

给定一个整数 n，求以 1 … n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

解：本题其实是构造卡特兰数的应用，采用动态规划思想求解。对于n个结点，除去根节点，还剩余n-1个结点，因此左右子树的结点数分配方式如下所示：

(0,n-1), (1,n-2), (2, n-3), ….(n-1,0)

我们可以简单的得到：

n=0时，种类数为dp(n)=1； n=1时，种类数为dp(n)=1；则可以依次计算得到n个结点时二叉树的种类，即：

dp(n)=dp(0)dp(n-1)+dp(1)dp(n-2)+dp(2)dp(n-3)+…+dp(n-1)dp(0)

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        //dp[i]表示以i为根节点的二叉搜索树个数
        int[] dp = new int[n + 1];
        //初始化
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        //状态转移,以i为根节点dp(n)=dp(0)*dp(n-1)+dp(1)*dp(n-2)+dp(2)*dp(n-3)+...+dp(n-1)*dp(0)
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                dp[i] += dp[j] * dp[i - j - 1];
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

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